线性插值法

参考

线性插值的原理是假设两个点 $(x_{0}, y_{0})$ 和 $(x_{1}, y_{1})$ 之间呈线性关系（即通过直线来连接两个点）

说明

通过两个端点估算给定的横坐标 $x$ 所对应的纵坐标值 $y$

那么就可以根据比例关系（直线处处的斜率相同）计算出其中某个点的值 $(x, y)$

\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}

化简得到

\begin{aligned} y&=y_{0} + (x-x_{0}) \frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} \\ &=\frac{y_{0}(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}+\frac{y_{1}(x-x_{0})-y_{0}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \\ &=\frac{y_{1}x-y_{1}x_{0}-y_{0}x+y_{0}x_{0}+y_{0}x_{1}-y_{0}x_{0}}{x_{1}-x_{0}} \\ &=\frac{y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \end{aligned}

从公式可以看出 $y$ 的值由 $x$ 分别与 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 的差值所决定

由于 $y_{0}$ 是 $(x_{1}-x)$ 差值的系数，而 $y_{1}$ 是 $(x-x_{0})$ 差值的系数，所以当所求的点 $x$ 靠近 $x_{0}$ 时，则 $(x-x_{0})$ 差值接近于 $0$ ，因此最终结果中 $y_{1}$ 的比重就少；反过来当所求的点 $x$ 靠近 $x_{1}$ 时，则 $(x_{1}-x)$ 差值接近于 $0$ ，因此最终结果中 $y_{0}$ 的比重就少

或者将公式进行变换，可以更容易看出这个关系

\begin{aligned} y&=\frac{y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \\ &=y_{0}(1-\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}})+y_{1}(1-\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}) \end{aligned}

与 $y_{0}$ 相乘的部分包含 $(x-x_{0})$ ，而与 $y_{1}$ 相乘的部分则是包含对应的 $(x_{1}-x)$ ，这样分析观察更有一致性

由于 $x$ 的差值项前面的系数都是 $-1$ 负数，所以两个端点对 $y$ 的「影响」大小，跟所求点 $(x, y)$ 与相应端点的距离远近是呈负相关的关系

说明

其中 $\displaystyle{1-\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ 和 $\displaystyle{1-\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}$ 被称为权重，以衡量相应的点（它们相应的系数）对于最终的 $y$ 值的影响，也称为归一化距离 normalized distances，因为它们的和是 $1$

还可以用符号来替代分式公式，得到以归一化距离 normalized distances来表示的公式，更简洁一些

用 $t$ 来表示在横轴水平上，所求点 $(x, y)$ 与左侧端点 $(x_{0}, y_{0})$ 的距离占总距离的比例

t=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}

所以 $y$ 值公式可以表示为

\begin{aligned} y&=y_{0}(1-\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}})+y_{1}(1-\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}) \\ &=y_{0}(1-\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}})+y_{1}\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} \\ &=y_{0}(1-t)+y_{1}t \end{aligned}

提示

如果假设在外延部分也是满足一样的线性关系，也可以估算出在 $[x_{0}, x_{1}]$ 范围之外的值